椭圆的画法
之前说过，几何画板的工具包画椭圆很方便，有各种画法，但是这些只是马上就出来一个椭圆，怎么画出来的是工具包设置好的，这不是我要的.
今天我们通过椭圆的定义、方程以及性质，来探索怎么画出一个椭圆.
一.通过椭圆定义画椭圆：
我们知道，椭圆是到两定点（定点距离为2c)距离之和为2a(a>c>0)的点的轨迹.
我们有常见的三个方法：
法一：绘制线段AB，在AB上取一点C，绘制线段AC、BC，绘制点D、E，分别以D、E为圆心，AC、BC为半径作圆，构造两圆的交点F、G，如果没有交点的话，就移动D、E、C产生交点，选择点C、F，“构造”——“轨迹”；选择点C、G，“构造”——“轨迹”.这样就画出了以D、E为焦点，AB长为长轴长的椭圆，如图所示：
法二：这是一个在考试中经常出现的一个方法，绘制圆B，在圆内绘制一点A，在圆上绘制一点C，选中A、C，“构造”——“线段”，选中B、C，“构造”——“直线”，选中线段AC，“构造”——“中点”，构造出AC中点D，选中点D、线段AC，“构造”——“垂线”，选中该垂线和直线BC，“构造”——“交点”，构造出交点E，选中C、E，“构造”——“轨迹”，就得到一个椭圆轨迹，如图所示，该椭圆以A、B为焦点，椭圆半径长为长轴长，道理很显然，就不赘述了.
你可以拖动A点，来看不同的椭圆，不过万一不小心把A点拖到了圆的外面，你可别吓一跳，这个我们后面会说到.
法三：这也是一个考试中经常出现的问题，如图所示，绘制出两个圆，是内含关系，下面来画一个和圆A内切，和圆B外切的圆.
在圆A上取一点C，构造直线AC，以C为圆心，圆B的半径为半径作圆，该圆交直线AC与D、E两点，其中E点在圆A外，连接BE，构造BE的中垂线交直线AC与F点，以F为圆心，FC为半径作圆，该圆就与圆A内切，与圆B外切，如图所示：
为什么这个圆与圆A内切，与圆B外切，由两圆的位置关系，很好证明，在此就不赘述了，隐藏不必要的直线和圆，如图所示：
显然F到A、B的距离之和等于圆A和圆B的半径之和，所以F点的轨迹就是以A、B为焦点，圆A和圆B的半径之和为长轴长的椭圆，选中点C、F，构造轨迹，如图所示：
我们也可以构造BD的中垂线，能构造出和圆A圆B都相切的另一个圆，其圆心也是椭圆，当然，你可以拖动圆A或者圆B，也会吓一跳，后续我们会专门介绍这个.
教材上没有介绍椭圆的第二定义，就是到一个定点和一条定直线（定点不在定直线上）距离之比等于定值e（0<e<1）的点的轨迹为椭圆，其中e就是该椭圆的离心率，有兴趣的同学可以自己去研究.
那么可以利用这个定义来画椭圆：
法四：“绘图”——“定义坐标系”，“右键”——“隐藏网格”，在x轴上取一点A，过A作x轴的垂线l，在x轴上取两点B、C，选中B、C，“构造”——“以圆心和圆周上的点作圆”，选中B、C，“度量”——“坐标距离”，“数据”——“新建参数”，将名称改为e，数值改为区间（0,1）内的任意一个数，比如0.6，选中BC的距离和参数e，“数据”——“计算”，算出BC/e，右键BC/e，在x轴上绘制该点，选中该点和原点，“变换”——“标记向量”，选中点A，“变换”——“平移”——“标记平移”，得到点A’，过A’作x轴垂线，交圆B于F、G，分别选中C、F和C、G，“构造”——“轨迹”，得到一个以B为焦点，l为准线的椭圆，如图所示：
我们可以改变e的值以及点B和直线l的位置，让椭圆发生变化.
二.通过椭圆方程画椭圆：
法一：以椭圆的标准方程x^2/2+y^2=1为例，其上半椭圆是个函数，下半椭圆也是函数，所以只需要画两个函数即可，先画函数y=sqrt(1-x^2/2)，再画函数y=-sqrt(1-x^2/2)，如图所示：
也可以画上半部分以后，在上面取点关于x轴对称，构造出下半部分.
法二：椭圆的参数方程为x=acosθ,y=bsinθ,θ∈R，所以可以这么画：
定义坐标系，在x轴取一点，度量其横坐标，将该点和其横坐标标签改为a，在y轴取一点，度量其纵坐标，将该点和其纵坐标标签改为b，以原点为圆心，1为半径作圆，在该圆上取一点C，度量其横纵坐标Xc、Yc，计算a*Xc，b*Yc，绘制点D（a*Xc，b*Yc），选中点C和D，“构造”——“轨迹”，即得到一个椭圆，如图所示：
法三：还是根据椭圆的参数方程，以原点为圆心绘制两个半径不等的圆，在大圆上取一点A，构造射线OA，OA与小圆交于点B，过A作x轴垂线l，过点B作l的垂线交l于C点，选中A、C，“构造”——“轨迹”，即得到一个椭圆如图所示：
该作法同上一个作法是一个道理.
法四：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1其实是圆x^2+y^2=1伸缩变换得到的，举例来说，椭圆x^2/4+y^2=1是圆x^2/4+y^2/4=1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的一半所得到的，所以绘制圆x^2/4+y^2/4=1，在其上取一点A，过A作x轴垂线交x轴于点B，构造线段AB，构造AB中点C，选中A、C，构造轨迹，即得到一个椭圆如图所示：
这个形象的感觉，就是把圆压缩了成为一个椭圆，当然不取AB中点，取别的等分点也可以，就会得到不同的椭圆.
三.通过椭圆性质画椭圆：
椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1可以变形为y^2/(x^2-a^2)=-b^2/a^2（x≠±a），这个式子的含义就是x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点（非左右顶点）和左右顶点连线的斜率之积为-b^2/a^2，所以我们可以这么画椭圆：在x轴上取一点A，双击y轴，选择A，“变换”——“反射”，得到其关于y轴的对称点A’，以A为圆心，作一个小圆，在圆上取一点B，构造直线AB，度量AB的斜率，新建参数t，数值改为（-1,0）内的任意值，比如-0.5，选中AB的斜率以及参数t，计算出t/AB的值，度量出A’的横坐标，选中其横坐标和t/AB的值，绘制新函数f(x)=t/AB的斜率(x-XA’)，构造该函数和直线AB的交点C，选中B、C，构造轨迹，得到一个椭圆如图所示：
其实上述结论可以升级，椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点和该椭圆上关于原点对称的两点连线的斜率（如果斜率存在的画）之积为-b^2/a^2，也就是不一定是x轴上的两点，只要关于原点对称即可，所以A和A’只要关于原点对称即可，就不赘述了.当然这个画法其实也可以说就是通过方程来画图，毕竟该性质就是方程的一个变形，其实椭圆所有的性质就是通过定义和方程得到的.
综上，我们用9个不同方法画出了椭圆，当然还有很多方法，大家可以自己去挖掘，相信如果你能自己画出一个椭圆，那么对椭圆的定义、方程和性质一定会有更深的认识.
